Optimale Wettstrategie mit dem Kelly-Kriterium

In unserem letzten Beitrag haben wir eine Methode vorgestellt, mit deren Hilfe man Wahrscheinlichkeiten von Ausgängen von Fußballspielen berechnen kann. Diese kann man nutzen um Wetten auf Fußballspiele zu platzieren. In diesem Artikel stellen wir eine optimale Wettstrategie mit dem Kelly-Kriterium vor, welche theoretisch zu einem idealen Zuwachs an Geld führt, ohne dabei das Risiko eines Totalverlustes einzugehen.

 Auf welche Spiele sollte man wetten?

Für eine gewinnbringende Wettstrategie müssen wir uns als erstes überlegen, auf welche Spiele wir Geld setzten sollten. Diese Frage ist leicht zu beantworten:

Angenommen wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für einen Heimsieg zu \(p_{1}=60\%\). Diesen Wert vergleichen wir nun mit der Wahrscheinlichkeit, welche durch die Wettquote der Buchmacher impliziert wird. Nehmen wir zum Beispiel an, dass bei Eintreten eines Heimsieges das 1,8-fache (\(o_{1}=1,8\)) des Wetteinsatzes ausbezahlt wird. Die implizierte Wahrscheinlichkeit \(p_{1}^{*}\) ist dann durch das Inverse der Wettquote gegeben

\[p_{1}^{*} = \frac{1}{o_{1}}=\frac{1}{1,8} = 0.555=55,5\%.\]

Die Buchmacher schätzen die Wahrscheinlichkeit für einen Heimsieg niedriger ein als wir. Wenn wir unserem Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit vertrauen, sollten wir immer dann eine Wette platzieren, wenn wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses höher einschätzen als die Buchmacher. Nach obiger Überlegung ist dies der Fall, wenn das Produkt aus Wahrscheinlichkeit und Wettquote größer als eins ist \((p\cdot o > 1)\). Man beachte, dass dies nicht immer eine Wette auf den Favoriten sein muss. Schätzen wir zum Beispiel die Gewinnchance für den Außenseiter auf 10% und die Wettquoten implizieren eine Gewinnchance von nur 5% für den Außenseiter, so ist es sinnvoll gegen den Favoriten zu wetten. Die geringe Wahrscheinlichkeit für das Ereignis wird durch die hohe Wettquote kompensiert.

Wir wissen nun also auf welche Mannschaft wir wetten sollten. Aber wieviel sollten wir setzten? In den nächsten beiden Abschnitten widmen wir uns dieser etwas schwieriger zu beantwortenden Frage.

Wieviel sollte man wetten? – Das Kelly-Kriterium

Das Problem ist das folgende: Gegeben ein Vermögen \(V_{0}\), welchen Teil unseres Vermögens sollten wir auf eine Wette platzieren? Angenommen wir setzen den Anteil \(\alpha V_{0}\) (\(0\leq\alpha\leq 1\)) auf eine Wette, die mit Wahrscheinlichkeit \(p\) gewinnt und die Wettquote \(o\) bietet. Dann ist der Erwartungswert des Vermögens nach der Wette \(\langle V_{1}\rangle\) durch

\[\langle V_{1} \rangle  = p(V_{0} – \alpha V_{0} + \alpha V_{0} o) + (1-p)(V_{0}-V_{0}\alpha)\]

gegeben und nach einfacher Umformung erhalten wir

\[\langle V_{1} \rangle = (po-1)\cdot\alpha V_{0}+ V_{0}\].

Der Erwartungswert des Vermögens nach der Wette ist also eine lineare Funktion in \(\alpha V_{0}\) mit Steigung \((po-1)\). Um \(\langle V_{1}\rangle\) zu maximieren, müssen wir also \(\alpha\) so groß wie möglich (d.h. \(\alpha=1\)) wählen, falls \((po-1) > 0 \), und so klein wie möglich (\(\alpha=0\)), falls \((po-1) <0\) ist. Das Kriterium \(po>1\) hatten wir schon im letzten Abschnitte erhalten. Die Rechnung schlägt also vor, dass wir unser gesamtes Vermögen (\(\alpha=1\)) auf die Wette platzieren sollten, um unseren Ertrag zu maximieren. Das Problem ist jedoch, dass die Wette nur mit Wahrscheinlichkeit \(p\) gewonnen wird. Das heißt es besteht die Gefahr, dass wir unser komplettes Vermögen bei einer einzelnen Wette verlieren. Tatsächlich ist es garantiert, dass das ganze Vermögen verloren geht, falls wir mehrere Wetten hintereinander machen wollen, da man bei der ersten verlorenen Wette bereits pleite ist und das verlorene Vermögen auch nicht mehr einspielen kann, da der nötige Wetteinsatz nicht mehr bereitgestellt werden kann. Das ganze Vermögen zu setzen, ist also keine sehr kluge Strategie, obwohl sie mathematisch den höchsten Ertrag liefert.

Dieses Paradoxon kann aufgelöst werden, indem wir nicht das zu erwartende Vermögen selbst maximieren, sondern eine sogenannte Nutzenfunktion. Diese Funktion ist in gewisser Hinsicht willkürlich und hängt von subjektiven Kriterien ab, zum Beispiel, ob ein Totalverlust ein tolerierbares Ereignis ist oder nicht. Wollen wir einen Totalverlust vermeiden, ordnen wir dem Wert \(V_{1}=0\) minus Unendlich zu. Weitere sinnvolle Kriterien an die Nutzenfunktion sind, dass sie monoton steigend (mehr Geld hat höheren Nutzen als weniger Geld) ist, und dass sie konkav (Risikoaversion) ist. Eine mögliche Funktion, welche diese Kriterien erfüllt, ist der Logarithmus. Im Folgenden nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass unser Ursprungsvermögen gleich ein Euro (\(V_{0}=1\)) ist. Wir wollen den Erwartungswert der Nutzenfunktion

\[ \langle \log V_{1} \rangle = p \log (1 – \alpha + \alpha o) + (1-p) \log (1-\alpha)\]

maximieren. Dazu differenzieren wir nach \(\alpha\) und setzen das Ergebnis gleich Null:

\[\frac{\partial}{\partial\alpha}\langle \log V_{1}\rangle = \frac{p(o-1)}{(1 – \alpha + \alpha o)} + \frac{(1-p)(-1)}{ (1-\alpha)} \stackrel{!}{=} 0\].

Auflösen nach \(\alpha\) liefert schließlich

\[\alpha = \frac{po-1}{o-1}\].

Dies ist das zuvor bereits angesprochene Kelly-Kriterium. Es sagt uns welches der optimale Anteil unseres zu Verfügung stehenden Vermögens ist, den wir für eine Wette einsetzen sollten. Man beachte, dass \(\alpha < 1\) für \(p\neq1\) ist. D.h. wir setzen bei keiner Wette unser gesamtes Vermögen, so dass wir (theoretisch) nie pleite gehen können. Des Weiteren setzen wir nur Geld, wenn wieder das Kriterium \(po>1\) erfüllt ist, denn andernfalls ist \(\alpha<0\), was keinen Sinn macht.  Ein Beispiel: Nehmen wir an, dass wir den Ausgang einer Wette fifty-fifty einschätzen, d. h. \(p=0,5\), und bei einem Wettanbieter eine Quote \(o=3\) auf die Wette erhalten. Dann gilt \(p\cdot o = 0,5 \cdot 3 = 1,5 > 1\) und wir sollten eine Wette eingehen. Mit obiger Formel berechnet sich \(\alpha\) zu

\[\alpha = \frac{(0,5\cdot 3) – 1}{3-1} = \frac{1}{4}.\]

Haben wir für die Wette ein Kapital von 10 Euro zu Verfügung, sollten wir also \(0,25 \cdot 10 = 2,50\) Euro auf die Wette platzieren.

Wollen wir Geld auf eine einzelne Wette setzen, können wir also die obige einfache Formel benutzen, um zu errechnen, welches der optimale Wetteinsatz ist.  Oft hat man allerdings den Fall, dass man mehrere Wetten parallel eingehen will. Es stellt sich dann die Frage, wie das Vermögen optimal auf die verschiedenen Wetten verteilt werden soll. Diese Problem wird im nächsten Abschnitt behandelt.

Das Kelly-Kriterium für mehrere parallele Wetten

Nehmen wir an, dass wir an einem Samstag Nachmittag auf mehrere Spiele, welche zur gleichen Zeit stattfinden, wetten wollen. Wie sollten wir unser zur Verfügung stehendes Geld auf die einzelnen Wetten verteilen? Die im letzten Abschnitt vorgestellte Herleitung lässt sich relativ einfach auf mehrere Wetten verallgemeinern. Allerdings ist eine Lösung der Gleichung nicht mehr so einfach wie zuvor zu erhalten, und wir müssen den Computer bemühen, um an ein Ergebnis zu gelangen. [C. Withrow, Appl. Statist. (2007) 56, Part 5, pp. 607-623]

Nehmen wir also an, dass wir auf N unabhängige Wetten gleichzeitig setzen wollen. Unser Startkapital soll wieder \(V_{0}=1\) sein. Die i-te Wette soll mit Wahrscheinlichkeit \(p_{i}\) gewonnen werden und eine Wettquote \(o_{i}\) bieten (\(i=1,\dots ,N\)). Insgesamt gibt es dann \(2^N\) mögliche Ereignisse \(E\) für den Ausgang der Wette. Für \(N=2\) gibt es beispielsweise die Ereignisse „gewonnen/gewonnen“, „gewonnen/verloren“, „verloren/gewonnen“ und „verloren/verloren“, also \(2^2=4\) Möglichkeiten. Für jedes dieser Ereignisse \(E\) können wir die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für dessen Auftreten ausrechnen, indem wir die einzelnen Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gewonnen/gewonnen“ ist zum Beispiel \(P(gewonnen/gewonnen)=p_{1}p_{2}\), die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gewonnen/verloren“ ist \(P(gewonnen/verloren)=p_{1}(1-p_{2})\) usw. Ebenso können wir unser Vermögen nach der Wette in Abhängigkeit des Ereignisses und der Wetteinsätze \(\alpha_{i}\) berechnen:

\[ V_{1}(E) = V_{0}\left( 1 – \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i} + \sum_{i=1}^{N} \delta_{i}(E) \alpha_{i} o_{i} \right),\]

wobei \(\delta_{i}(E)\) gleich Eins ist, falls die i-te Wette im Ereignis \(E\) gewonnen wurde, und gleich Null ist, falls die i-te Wette im Ereignis \(E\) velroren wurde. Nun wollen wir wieder den Erwartungswert von \(\log V_{1}\) maximieren. Dieser ist durch die Summe über alle Ereignisse gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeiten gegeben:

\[\langle \log V_{1} \rangle = \sum_{\{E\}} P(E) \log V_{1}(E)  =\sum_{\{E\}} P(E) \log \left(1 – \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i} + \sum_{i=1}^{N} \delta_{i}(E) \alpha_{i} o_{i}  \right). \]

Zum Maximieren muss nun noch nach \(\alpha_{k}  (k=1,\dots ,N)\) differenziert werden und die Ableitung gleich Null gesetzt werden

\[ \frac{\partial}{\partial \alpha_{k}} \langle \log V_{1} \rangle  =\sum_{\{E\}} P(E) \frac{\delta_{k}(E)\alpha_{k}o_{k}-1}{1 – \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i} + \sum_{i=1}^{N} \delta_{i}(E) \alpha_{i} o_{i}} \stackrel{!}{=} 0.\]

Wie bereits erwähnt sind diese Gleichungen unter den Bedingungen \(\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i} \leq 1, \alpha_{i} \geq 0 \forall i\) nicht einfach zu lösen. Wir können jedoch die Gleichung für \(\langle \log V_{1} \rangle \) numerisch maximieren. Als Beispiel zeigen wir das Ergebnis für zwei parallele Wetten, welche mit Wahrscheinlichkeiten \(p_{1}=0.6\) und \(p_{2}=0.3\) gewonnen werden, und die Wettquoten \(o_{1}=2.22\) und \(o_{2}=6.66\) bieten. In der folgenden Grafik ist \(\langle \log V_{1} \rangle \) als Funktion von den Gewichten \(\alpha_{1}\) und \(\alpha_{2}\) gezeigt. Der rote Punkt zeigt das Maximum an und ist bei \(\alpha_{1}=0.25\) und \(\alpha_{2}=0.17\) platziert. Es sollten also 25% des Vermögens auf Wette 1 und 17% des Vermögens auf Wette 2 platziert werden.

mv_kelly

 

 

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